一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
(1) 若 ，则下列各式中一定成立的是
A. B. C. D.
(2) 不等式 的解集是
A. B. C. D.
(3) 的值是
A. B. C. D.
(4) 在一次对年龄和人体脂肪含量关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的年龄和人体脂肪含量关系的散点图.根据该图，下列结论中正确的是
A.年龄和人体脂肪含量正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B.年龄和人体脂肪含量正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C.年龄和人体脂肪含量负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D.年龄和人体脂肪含量负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
(5) 如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，
测得 ， ， ，则A，B两点间的距离为
A. B. C. D.
(6)如果 成等比数列，那么
A. B.
C. D.
(7)某学校要从数学竞赛初赛成绩相同的四名学生(其中2名男生，2名女生)中，随机选出2名学生去参加决赛，则选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为
A. B. C. D.
(8)已知实数 满足 则 的值为
A. B.0 C. D.
(9) 以下茎叶图记录了甲、乙两名篮球运动员在以往几场比赛中得分的情况，设甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ，标准差分别为 则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
(10)对任意的锐角 下列不等关系中正确的是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
(11) 已知 则 ____________.
(12) 设 , , 是 中 , , 的对
边, , ， ，
则 _________; 的面积为________.
(13) 某程序框图如图所示，该程序运行后
输出S的结果是________.
(14) 已知 是数列 的前 项和，
且 ，则 _________________;
当 ______时， 取得值.
(15) 欧阳修的《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为 1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体不出边界)，则油滴整体(油滴近似看成是直径为0.2cm的球)恰好落入孔中的概率是 (不作近似计算).
(16)数列 中，如果存在 使得“ 且 ”成立
(其中 )，则称 为 的一个“谷值”.
① 若 则 的“谷值”为_________________;
② 若 且 存在“谷值”，则实数 的取值范围是__________________.
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分14分)
已知 是等差数列， 为其前 项和，且 .
(I)求数列 的通项公式;
(II)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
(18)(本小题满分14分)
“交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为 至 ，分为 个等级：其中 为畅通， 为基本畅通， 为轻度拥堵， 为中度拥堵， 为严重拥堵. 晚高峰时段，某市交通指挥中心选取了市区 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示：
交通指数
频数 频率
(I)求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图;
(II)用分层抽样的方法从交通指数在 和 的路段中抽取一个容量为 的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽出 个路段，求至少有一个路段为畅通的概率.
(19)(本小题满分14分)
已知函数
(I)求函数 的单调递减区间;
(II)求函数 在区间 上的值和最小值.
(20)(本小题满分14分)
某旅游公司在相距为100 的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船时速为50 ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20 时，燃料费用为每小时60元.其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元.
(I)当游船以30 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少?(利润=收入 成本)
(II)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润，利润是多少?
(21)(本小题满分14分)
在无穷数列 中， ，对于任意 ，都有 ， . 设 ， 记使得 成立的 的值为 .
(I)设数列 为1，2，4，10， ，写出 ， ， 的值;
(II)若 是公差为2的等差数列，数列 的前 项的和为 ，求使得 成立的 的最小值;
(III)设 ， ， ，请你直接写出 与 的关系式，不需写推理过程.
昌平区2013-2014学年第二学期杏耀3注册年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准 2014.7
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A A D C B C
(II) …………10分
所以
是以3为首项2为公比的等比数列.
…………12分
所以 …………14分
(18)(本小题满分14分)
解：(I)由频率分布直方图，得交通指数在[2,4)的频率为
.
所以，
频率分布直方图为：
………………………6分
(II)依题意知，取出的5个路段中，交通指数在[0,2)内的有2个，设为
交通指数在[2,4)内的有3个，设为 …………………………………8分
则交通指数在 的基本事件空间为
，基本事件总数为10，……………10分
事件 “至少有一个路段为畅通”，
则 ， 基本事件总数为7.…………12分
所以至少有一个路段为畅通的概率为 ……………………………………14分
(19)(本小题满分14分)
解： 的定义域为
…………………4分
(I)令 且
解得， 即
所以， 的单调递减区间为 …………………8分
(II)由
当 即 时，
当 即 时， …………………14分
(20)(本小题满分14分)
解：设游船的速度为 ( )，旅游公司单程获得的利润为 (元)，
因为游船的燃料费用为每小时 元，依题意 ，则 . 2分
所以 =
= . 5分
(21)(本小题满分14分)
解：(І) …………………3分
(Ⅱ) 由 得 .
根据 的定义，当 时， ;当 时，
