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第八课时 等比数列(二)
教学目标：
灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
教学重点：
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
教学难点：
灵活应用等比数列定义、通项 公式、性质解决一些相关问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
等比数列定义，等比数列通项公式
Ⅱ.讲授新课
根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?
(1)若a，A，b成等差数列 a＝a＋b2 ，A为等差中项.
那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……
则即Ga ＝bG ，即G2＝ab
反之，若G2＝ab，则Ga ＝bG ，即a，G，b成等比数列
∴a，G，b成等比数列 G2＝ab (a•b≠0)
总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±ab ，(a，b同号)
另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，那么，在等比数列中呢？
由通项公式可得：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，aq＝a1•qq－1
不难发现：am•an＝a12qm+n－2，ap•aq＝a12qp+q－2
若m＋n＝p＋q，则am•an＝a p•aq
下面看应用这些性质可以解决哪些问题?
［例1］在等比数列{an}中，若a3•a5＝100，求a4.
分析：由等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq可得：
解：∵在等比数列中，∴a3•a5＝a42
又∵a3•a5＝100，∴a4＝±10.
［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.
则数列{an}的第n项与第n＋1项分别为a1pn－1，a1pn
数列{bn}的第n项与第n＋1项分别为b1qn－1，b1qn.
数列{an•bn}的第n项与第n＋1项分别为a1•pn－1•b1•qn－1与a1•pn•b1•qn，即为
a1b1(pq)n－1与a1b1(pq)n
∵an+1an •bn+1bn ＝a1b1（pq）na1b1（pq）n－1 ＝pq
它是一个与n无关的常数，
∴{an•bn}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地，如果{an}是等比数列， c是不等于0的常数，那么数列{c•an}是等比数列.
［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
解：设m，G，n为此三数
由已知得：m＋n＋G＝14，m•n•G＝64，
又∵G2＝m •n，∴G3＝64，∴G＝4，∴m＋n＝10
∴m＝2n＝8 或m＝8n＝2
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
课本P50练习1，2，3，4，5.
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：
(1)若a，G，b成等比数列，则G2 ＝ab，G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq
Ⅴ.课后作业
课本P52习题 5，6，7，9
等比数列(二)
1．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
6．设x＞y ＞2，且x＋y，x－y，xy，yx 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
等比数列(二)答案
1 ．已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3＋a5 的方法是不行的，而应寻求a3＋a5整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q•a1q3＋2a1q2•a1q4＋a1q3•a1q5＝25
即a12q4(q2＋1)2＝25，又an＞0，得q＞0
∴a1q2(q2＋1）＝5
a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5
解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25
由等比数列性质得a32＋2a3a5＋a52＝25
即(a3＋a5)2＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2．在等比数列中，a1＝1，q∈R且|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
解：∵am＝a1a2a3a4a5＝a15q1+2+3+4＝a15q10＝a15q11－1
又∵a1＝1，∴am＝q11－1，∴m＝11. 答案：C
3．非零实数x、y、z成等差数列，x＋1、y、z与x、y、z＋2分别成等比数列，则y等于（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16
解：由已知得2y＝x＋zy2＝（x＋1）zy2＝x（z＋2） 2y＝x＋zy2＝（x＋1）zz＝2x 2y＝3xy2＝（x＋1）2x y＝12
答案：B
4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
解：设所求的四个数分别为a，x－d，x，x＋d
则（x－d）2＝ax ①a＋（x－d）＋x＝19 ②（x－d）＋x＋（x＋d）＝12 ③
解得x＝4，代入①、②得（4－d）2＝4a a－d＝11
解得a＝25d＝14 或a＝9d＝－2
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
5．在数列{an}和{bn}中，an＞0，bn＞0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1＝1， b1＝2，a2＝3，求an∶bn的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.
解：由题意知：2bn＝an＋an＋1 ①an＋12＝bnbn＋1 ②
∴an+1＝bnbn＋1 ，an＝bnbn－1 (n≥2)
代入①得2bn＝bnbn＋1 ＋bnbn－1
即2bn ＝bn＋1 ＋bn－1 (n≥2)
∴{bn }成等差数列，设公差为d
又b1＝2，b2＝a22b1 ＝92 ，
∴d＝b2 －b1 ＝322－2 ＝22
∴bn ＝2 ＋22（n－1）＝22（n＋1），bn＝12 （n＋1）2，
当n≥2时，an＝bnbn－1 ＝n（n＋1）2 ③
且a1＝1时适合于③式，故 anbn ＝nn＋1 .
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
6．设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，yx 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
分析：先由x＞y＞2，可知x－y＜x＋y＜xy，下来只需讨论 yx 和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.
解：∵x＞ y＞2，x＋y＞x－y，xy＞x＋y，而 yx ＜1＜x－y
当 yx ＜x－y时，由 yx ，x－y，x＋y，xy顺次构成等比数列.
则有 yx •xy＝（x－y）（x＋y）（x＋y）2＝（x－y）xy
解方程组得x＝7＋52 ，y＝5＋72 2
∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋992 2 .
当 yx ＞x－y时，由x－y， yx ，x＋y，xy顺次构成等比数列
则有yx •xy＝（x＋y）2yx （x＋y）＝（x－y）xy
解方程组得y＝112 ，这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.
7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
分析一：从后三个数入手.
解法一：设所求的四个数为 （x－d）2x ，x－d，x，x＋d，根据题意有
（x－d）2x ＋（x＋d）＝21（x－d）＋x＝18 ，解得x＝12d＝6 或x＝274 d＝92 274
∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .
分析二：从前三数入手.
解法二：设前三个数为 xq ，x，xq，则第四个数为2xq－x.
依题设有xq ＋2xq－x＝21x＋xq＝18 ，解得x＝6q＝2 或x＝454 q＝35
故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x，y，18－y，2－x，由已知得：
y2＝x（18－y）2（18－y）＝y＋（21－x） ，解得x＝3y＝6 或x＝754 y＝454
∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .
